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SVD 视角 · Moore–Penrose 伪逆

旋转、缩放、旋转。
伪逆把这三步倒着撤销——
撤到中间那步，撤不动了。

A = UΣVT 说的是：任何矩阵作用在向量上，都只是转个方向、把各个轴按 σ 拉伸、再转个方向。旋转永远可以撤销，长度都没变。 唯一可能撤不回来的是中间那一步：σ 是 0 的方向，除不回去。伪逆在那里做的不是数学，是一个决定——把撤不回来的方向直接填 0。 这一页的所有现象，都是这个决定的后果。

A = U Σ VT A+ = V Σ+ UT

三段流水线上排是 A 的正向作用，下排是 A⁺ 逐步撤销。柱子是真实数值，不是示意

输入空间 ℝ²单位圆 · A⁺ 的椭圆 · 你的 x

白点 x 可以拖。虚线椭圆是单位圆经 A⁺ 后的样子，半轴是 1/σ——σ 一小它就冲出画面。

单位圆 / 你的 x A⁺ 的椭圆（半轴 1/σ） x⋆ 与全部解 奇异方向 v

输出空间 ℝ²列空间 · b · 投影 · 残差，全在一张图里

白点 b 可以拖。实线椭圆是同一个单位圆经 A 之后的样子，半轴是 σ。三维视图可拖动旋转。

A 的椭圆（半轴 σ）/ 列空间 b 与你的 Ax Ax⋆ 残差

此刻发生了什么随案例、奇异值和截断阈值同步更新

    试着赢过 x⋆拖动输入空间里的 x，看能不能把残差压得比 A⁺b 更小

    这一页以 U、Σ、V 为状态本体，A 和 A⁺ 都由它们实时合成——所以 σ 可以一路拖到 1e-16 而不损失精度 （若反过来从 A 做特征分解，条件数会被平方，小于约 1e-8 的奇异值根本恢复不出来）。 伪逆按 A⁺ = VΣ⁺Uᵀ 计算，Σ⁺ 对 σ ≤ rcond·σ₁ 的方向填 0。